【搬運計畫:積分前篇|重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法|精選範例 11-4|張旭微積分】
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本影片運用分部積分法計算 secx 的積分、sec^2(x) 的積分和 sec^3(x) 的積分;其中最需要注意的是 sec^3(x) 的積分,用到和 (e^x)sinx 時類似的技巧,是經典的題目
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sinx 2積分 在 數學老師張旭 Facebook 的最讚貼文
【搬運計畫:積分前篇|重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法|精選範例 11-2|張旭微積分】
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本影片運用分部積分法計算 (e^x)sinx 的積分和 (e^x)coshx 的積分;本題在計算後者時,有提出一個值得注意的錯誤想法,有興趣的同學可以一看
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sinx 2積分 在 數學老師張旭 Youtube 的最讚貼文
【摘要】
本影片演示 sin 倍角和 cos 倍角相乘積分的計算技巧
【勘誤】
4:30 ∫ sinx cos3x cos5x dx 應等於 ∫ (sin4x+sin(-2x))/2 *cos5x dx
無,若有發現其他錯誤,歡迎留言告知
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【微分篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiPgR9GLKtro3CTr6OIgdMg)
【微分應用篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNzXUa9hI2IfknA8Q7iSwE)
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【積分後篇】
重點一:進階積分技巧:高次倍角三角函數積分 (https://youtu.be/Gbj51Z9asMo)
├ 精選範例 1-1 (https://youtu.be/db5WdP_4bpQ)
├ 精選範例 1-2 👈 目前在這裡
└ 精選範例 1-3 (https://youtu.be/fQn0lCFEGyc)
重點二:特殊積分形式之其一:含絕對值的積分 (https://youtu.be/ntuZMDxA2oE)
重點三:特殊積分形式之其二:含無窮的積分(瑕積分)(https://youtu.be/VaCL5moZojc)
重點四:微積分基本定理 II:先積再微型 (https://youtu.be/Zc5rO2JIXxA)
重點五:旋轉體積分 (https://youtu.be/-kQSVZScOwY)
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【積分篇】
重點一:定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二:奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三:定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四:積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五:微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六:不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七:雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八:積分表 (沒有講解影片)
重點九:四大積分基本方法之一:變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十:四大積分基本方法之二:三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
├ 精選範例 11-1 (https://youtu.be/SFss3hMzU4Q)
├ 精選範例 11-2 (https://youtu.be/uSnaHwtq28w)
├ 精選範例 11-3 (https://youtu.be/Mks1M_jh-jw)
├ 精選範例 11-4 👈 目前在這裡
├ 精選範例 11-5 (https://youtu.be/cl6JvIhed-M)
├ 精選範例 11-6 (https://youtu.be/oU7PhO_CWzo)
├ 精選範例 11-7 (https://youtu.be/PXNL0piuUT0)
└ 精選範例 11-8 (https://youtu.be/eyj2AwQIKFI)
重點十二:積分表 (沒有講解影片)
重點十三:四大積分基本方法之四:部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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重點二:奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三:定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四:積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五:微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六:不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七:雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八:積分表 (沒有講解影片)
重點九:四大積分基本方法之一:變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十:四大積分基本方法之二:三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
重點十一:四大積分基本方法之三:分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
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sinx 2積分 在 How do I prove $\int_0^\pi\frac{(\sin nx)^2}{(\sin x)^2}dx = n\pi 的推薦與評價
I initially thought of the Leibniz rule, but that wouldn't work as the result only holds for positive integers, meaning the integral would not ... ... <看更多>
sinx 2積分 在 Re: [微積] [sin(nx)/sinx]^2從0積到pi - 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言:
: ※ 引述《flurry (徹徹底底的失敗者)》之銘言:
: : 各位板友好, 最近在練習幾個證明題, 但是
: : ∫[sin(nx)/sinx]^2 dx 從0積到pi的積分實在不知
: : 如何下手, 還請知道方法的板友提供一下方法,謝謝!
: : 漏了提供答案, 積分的結果是 npi, 謝謝各位
: 如果要拆~~可以想想看把sin nx用Euler identity把它拆開來:
: 令z=cos x+ isin x, 那麼 sin x =(z-z*)/2i, z*為z的共軛複數。
: 可以利用棣美弗定理知道sin nx =(z^n-z^n*)/2i。因為zz*=1所以
: z^-1=z*。所以我們可以把
: sin n x/ sin x ={z^n-z^(-n)}/{z-z^-1}=z^{-n}(z^{2n}-1)/{z^-z^(-1)}
: 同乘z之後 可得 z^{-n+1}(z^{2n}-1)/(z^2-1)
: 就想成等比級數
: z^{-n+1}(1+z^2+z^4+...+z^{2n-2})
: =z^{-n+1}+z^{-n+3}+...+z^{n-3}+z^{n-1}
: 這是最直觀的想法,至於這樣能不能做你可以試試看
: 是不是有其他方法?當然有~~不過這些想法彼此都有類似之處。
#1DB9U7Dm 可以參考看看,尤其解法二是真正的勁
: 如果你學過Fourier級數就用這去想
: 如果沒學過~~剛好也可以想想。
這題其實可以算是Parseval's theorem的一個應用吧
Parseval's theorem (證明就代進去展開就好)
https://en.wikipedia.org/wiki/Parseval%27s_theorem
讓a_0 = a_2 = ... = a_{n-1} = 1
一邊是n,另外一邊整理一下就是那個積分除以π
比較有趣的是如果讓a_i代別的數,就會得到別的等式
比方說a_i = (-1)^i,就會得到(cos(nx)/cosx)^2的積分
代a_i = α^i或更怪異的值的話,就會得到一些更科科的積分等式,還算是有一點點酷
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※ 編輯: TWN2 來自: 18.95.7.198 (01/10 14:17)
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