【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別?」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先,絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結:https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片:https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了,忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學,其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢?
我這邊簡單條列幾個
例如:
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1)).(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先,高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數:指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊,不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片:https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容:
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧?
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢?
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎?
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍?
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習,累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力,也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力,在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片:https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦,講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完!」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
▋歡迎用訂閱行動支持數學老師張旭 YT 頻道‼
▋連結:https://reurl.cc/KkL3Vy
▋張旭老師大一微積分先修線上直播課程開課了🔥
▋連結:https://reurl.cc/Njol7x
▋歡迎參加許願池活動,留下你想聽我們講解的主題!
▋最新連結請到置頂文章:https://reurl.cc/WdZQDx
▋贊助支持我們
▋歐付寶:https://reurl.cc/vD401k (台灣境內請用這個)
▋綠界:https://reurl.cc/3Dp7Ll (台灣境外用這個)
▋flyingV:https://reurl.cc/g7p48N (2020/7/17 結束)
同時也有21部Youtube影片,追蹤數超過3萬的網紅李祥數學,堪稱一絕,也在其Youtube影片中提到,線上課程賣場:https://changhsumath.1shop.tw/ewkhca 成為這個頻道的會員並獲得獎勵:https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join 追蹤我的ig:https://www.instagra...
「log除法公式」的推薦目錄:
- 關於log除法公式 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文
- 關於log除法公式 在 賭Sir(杜氏數學) Facebook 的精選貼文
- 關於log除法公式 在 Herman Yeung Facebook 的最佳解答
- 關於log除法公式 在 李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的精選貼文
- 關於log除法公式 在 李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的最佳貼文
- 關於log除法公式 在 Lipstick CHANNEL (masayoshi ASMR) Youtube 的最佳解答
- 關於log除法公式 在 log公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 萌寵公園 的評價
- 關於log除法公式 在 log公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 萌寵公園 的評價
- 關於log除法公式 在 log數學公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 媽媽最愛你 的評價
- 關於log除法公式 在 log數學公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 媽媽最愛你 的評價
log除法公式 在 賭Sir(杜氏數學) Facebook 的精選貼文
聖誕將至,DSE亦快將倒數100天。
你會如何善用聖誕假突破數學樽頸位?
不少同學whatsapp我說:
有些乙部課題明明已瘋狂操練,
但仍頻頻出錯、做得很慢,甚至一頭霧水。
杜氏數學Herman To Math現強勢推出:
7大「開竅型」Topic概念重建課程
囊括能「瞬間大爆發」的乙部課題,
於日校跟不上,就聖誕後來居上!
★★ 概率 (連排列與組合) Probability (With Combination and Permutation)
─── 2 小時由零變概率大師
─── 甲部概率100%滿分攻略
─── 乙部排列與組合2招KO秘訣及N大常見問法
─── 乙部概率核心概率清晰簡化,無懼新式問法
─── 加送只用「!」破題的思考方法
★★ 等差/等比數列 A.S./G.S.
─── 小學思維配合一條公式KO卷一Killer Questions的秘技
─── 3大G.S.常見問法
★★ 圓特性 Properties of Circle
─── 題解逼近法,無懼「無從入手」,不再「不知所措」
─── 5大考官出題關鍵字
─── 98%考生都不知道的出題潛規則
─── 第7大常見相似三角形 (首度發佈!)
★★ 圓方程 Equation of Circle
─── 5** 狀元必懂「圓方程鐵3角」
─── 95%考生都不知道的出題潛規則
─── 4大常見難題,萬變不離其宗
★★ 軌跡 Locus
─── 6大考官預期考生秒殺的題型
─── 由會考A.Maths提煉出來的軌跡萬能解
★★ 線性規畫 Linear Programming
─── 50分鐘終極攻略,滿分只須6步
★★ 對數 Log
─── 完美整合,從此最愛做Log
3大建議課程使用方法:
✦平均型:每天上一課,每天KO一個Topic
✦煲劇型:一口氣看完所有Topic極速清Concept
✦消化型:隔日上課,讓腦袋消化知識,不時發問
課程適合所有以中文或英文報考DSE數學Core的中四至中六學生
學費:
由2017年1月1日開始,每一個課題 $120
✴✴✴ 2016優惠 ✴✴✴
於2016年12月31日或之前報讀,即享以下優惠:
🌟概率 --------------------------- $100
🌟A.S./G.S. --------------------- $100
🌟圓特性+圓方程+軌跡 ----- $300
🌟線性規畫 --------------------- $100
***學費$500或以上即送Log完美整合
報讀方法:
1. 到東亞銀行入數 戶口號碼 015-150-10-405909-7 (C*** C**** L** E***)
2. 透過Paypal過數 https://paypal.me/HermanToMath
付費後將證明(過戶紀錄或入數紙)透過:
1. Email傳送到hermantomathtv@gmail.com
2. Whatsapp 傳送到9136-3650
一至兩個工作天內,你便會收到收看錄像的方法和密碼,開始上堂!
杜氏數學電視台Herman To Math TV
網頁: www.HermanToMath.com
頻道: www.youtube.com/HermanToMath
專頁: www.facebook.com/HermanToMath
網誌: HermanToMath.blogspot.hk
中五會考--數學A附加數學A
中七高考--純數A應用數學A
DSE數學5** 延伸部份二5**
------------------------------------------------------------------
P.S. 不知不覺,由7至8月正式大搞Youtube至今,訂閱人數已邁向5000大關,很感激各位觀眾的支持,你們每一個留言我也有看,每一封Email、每一個Whatsapp我亦盡快即日回覆,你們的支持我全都收到了,很多謝你們!推動大眾數學的路並不平坦,畢竟「數學」二字具有過份社會偏見,哈哈!你們的每一個讚好和分享都有份鋪平這條路,再次多謝你們!
11月22日是我任性地租用工作室的第一天起租之日,全賴各位同學的支持,概率Probability概念重建課程大受歡迎,為我解決了首月租金的難關;而報讀學生的好評,亦為我帶來無比鼓舞,直接推動我於聖誕前推出上述其餘6大課程,繼續透過互聯網推出「廉價但高質素」的教育課程 :D
2017年開始,杜氏數學電視台Herman To Math TV正式營運,準時每天晚上9時正發佈3至5分鐘的短片,密切留意啊!
5000訂閱指日可待,如你對慶祝活動有任何意見,可以在這條影片留言呢:https://www.youtube.com/watch?v=tFxpPMMitcU
--------------------------------------------------
P.P.S. 特別警報!Youtube已經不知不覺削弱了訂閱功能,因此除了按訂閱之外,請務必也按下訂閱旁邊的「鐘仔」,日後才會有Email提你收看我的新影片。
撳咗鐘仔未!?
https://www.youtube.com/watch?v=Rlzs2jzKXf4
log除法公式 在 Herman Yeung Facebook 的最佳解答
(本來想拍埋 Tips class plan A, B, BLC, Capture 5** 及一天 的片,但因身體抱恙,臉青青以免嚇親大家,所以出文字版,先出 tips class plan A)
有報到 tips class plan A 的同學
首先你要了解第一頁的時間分佈,
實戰時要好好掌握自己的時間分佈,
要了解自己的大約實力,進行可行的戰略,
之後當然係要溫翻上堂講過 Annual report 提及的各大問題,
% 的翻譯你熟悉未?可參考 p.3
之後要了解翻不等式與三角學之間的 cross-over 考法
接著就係 p.7 的位置,條題目不是重點,重點係當日提過的扣分制度,
了解一下個扣分制度,
之後可以溫 Q004 以及 Q033,兩條都入係要你自己將一個9唔搭8 的情境變得可比較,呢個公平化的手段與 Q010 有相類近的地方,可以一併溫習。
而 Q010 亦要了解 data 經歷 加、減、乘、除後的各種變化。
之後可以從 Q008 中睇到 Box-and-whisker 的問題,
我堂上講過,佢有時又會倒轉俾你睇到邊個 mean 大。
其實 statistics 統計係充滿 misleading 誤導,
你亦可以搵下 Q14 (c) part 面對 yes, no question 的必殺技。
至於 normal distribution 正態分佈 的考法,可以參考翻 Q13,
了解 frequency 頻數 與 probability 概率的分別。
跟住你可以了解 make subject 主項的音你的手法 (Q18)
以及 Paper I 與 Paper II 於做法上要留意 Paper I 要多一點 step (Q19)
至於 log 的 應用有兩個,一個係 Q20,另一個於 TIPS Class Plan B Q013
至到 Factorize 因式分解方面,
記唔記得我地講過 DSE 係一個新的考法,可參考 Q21 (a),
如果你有報到 大檸樂,果邊的演譯會更深入,
講埋幾時會係佢幾時會係 completing square 配方法。
如果你得到一個頂點坐標,究竟點寫條公式呢?
兩個情況,一種係 Q023 的情況,另一種係 “一天衝” 的 Q014。
之後到賺蝕問題,要小心正負號 (Q26)
基本野都唔熟的可以睇下片︰
https://www.youtube.com/watch…
A.S. 及 G.S. 記住要實戰為主,好多時第一秒你係唔知考緊佢地,
可以通過 Q027, Q028, Q030 了解箇中的精髓。
不等式方面,要了解最終極的考法,
可參考 Q034, Q035。
Linear Programming 線性規劃 方面,
可以參考 Q036 及 一天衝 的 Q46
背熟我們的口訣,實際如果出 MC 都可以做得快 d。
至於 Probability 概率方面,
要搞清楚 prob 與 expected value 期望值的分別,
可參考 Q037 一次過溫埋 nCr 的用途。
nCr, nPr 的應用可參考 Q038, Q039, Q040, Q041,
同一時間可溫埋一天衝 的Q51, Q52 (當日我地講過 乘 同 加 的分別)
Mensuration 求積法 與 Coordinate Geometry 坐標 的關係可參考 Q42, Q43
圓形直線、圓形圓形的各種關係理解左的話,
可以溫下 奪保其星 的 G1 果條
至於 Factor theorem 因式定理、Reminder theorem 餘式定理 就一定係溫
奪保其星 的 M類題目,記得我上堂講過 “我唔識佢架,所以我要 ….”
log除法公式 在 李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的精選貼文
線上課程賣場:https://changhsumath.1shop.tw/ewkhca
成為這個頻道的會員並獲得獎勵:https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join
追蹤我的ig:https://www.instagram.com/garylee0617/
加入我的粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/garylee0617/
有問題來這裡發問:https://www.facebook.com/groups/577900652853942/
喜歡這支影片,記得按個"喜歡",並且分享
訂閱就可以看到最新的影片
你最棒,記得按鈴鐺^^
高中數學重要觀念解析:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
數學思考題型:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
真的祥知道:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-
YouTube合作影片:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlQk7b-jDmCaUjJ57UMSXsf
高中數學講座:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
學測考前猜題:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
抖音精選:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
國中會考總複習:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
log除法公式 在 李祥數學,堪稱一絕 Youtube 的最佳貼文
成為這個頻道的會員並獲得獎勵:https://www.youtube.com/channel/UCU2axN3MDyvq01LOK1umZGQ/join
追蹤我的ig:https://www.instagram.com/garylee0617/
加入我的粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/garylee0617/
有問題來這裡發問:https://www.facebook.com/groups/577900652853942/
喜歡這支影片,記得按個"喜歡",並且分享
訂閱就可以看到最新的影片
你最棒,記得按鈴鐺^^
高中數學重要觀念解析:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm
數學思考題型:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw
關於數學的兩三事:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5
真的祥知道:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-
YouTube合作影片:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlQk7b-jDmCaUjJ57UMSXsf
高中數學講座:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmgafYQliX1Ewh2Ajun9NNn
學測考前猜題:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGko-fghK4k3eZJ23pmWqN_k
指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr
統測考前猜題:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkP_Nvl8iToZUWNfOHT42Pg
抖音精選:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmoWuzdrsxoeKQBR_GgZyIk
國中會考總複習:https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg
log除法公式 在 Lipstick CHANNEL (masayoshi ASMR) Youtube 的最佳解答
https://amzn.to/2SJIthpの尊い まさ推しに贈ります
君のリクエスト本の紹介
今回紹介した本
ユダヤ5000年の教え
ビジネス書というより
究極の普遍的選択方法
アマゾンはこちら
https://amzn.to/3iISaao
それでいい
ツレがうつになりましての作者
自分を好きになる本
アマゾンはこちら
https://amzn.to/2SJIthp
発達障害サバイバルガイド
この本は発達障害じゃない人にも
ライフハック(生活が便利に)にも使えます
とにかく自分が悪いんじゃなくてシステムが悪いので
どうやって生活を楽にするか
アマゾンはこちら
https://amzn.to/34Ny2Ph
ちなみに私はものがどこかえいっちゃうので
アップルウォッチですぐ見つかるようにしてあります
鍵も持ちたくないのでこれを使ってます スマートロック
https://amzn.to/33NZ8GP
書いて覚えるフォニックス
とにかく英語はエービーシーとよまない
https://amzn.to/33Mhmsb
女ともだち
私の人生で一番影響を与えた早川義夫先生の
鎮魂エッセイ
https://amzn.to/3iOMRpZ
曲も貼っときます
日本語のロックに影響を与えた人です
https://youtu.be/g19yy4TWC98
またも タルムード
ユダヤ人の成功哲学
これ本当に重要で
選択を迫られたときこれを思い出すといい
アマゾンはこちら
https://amzn.to/3djohws
ユーチューブでもわかりやすく解説しているやつがあるので貼っときます
https://youtu.be/oFAR7PXbZVE
なぜ 日本人はいろいろなことで悩むかと言うと
儒教の影響がかなり強いので儒教の事は知っといたほうがいいで
いいとか悪いとかじゃなくて 知っておいたほうがいい
https://amzn.to/3lCccp4
これ難しいのでこっちのほうがかんたん
https://amzn.to/2GQr4kq
受験生も見ている人が多いので
脳を活発化させる本
なぜ東大生はカレーが好きか
https://amzn.to/3jK3DI5
さばカレー最強です
あとサウナ
医者が教えるサウナ
https://amzn.to/2SMG2ux
なぜ社長さんがサウナ好きかわかります
あと受験生におすすめの本
人物で読み解くセンター理論
https://amzn.to/3lzlZfj
発達障害の僕が「食える人」に変わった すごい仕事術
https://amzn.to/2SMmVRm
最後にヘアマニュキュはこちら
https://amzn.to/3iMnbtV
最近はユーチューブで本の解説動画も多いので
そっちを見てから本を買うといいかも
では バイバイ
Become a channel member for exclusive features! Check it out here:
Join member (special videos, 특별영상, 特別映像):
まさよFC(ファンクラブ)Fanclub有料特別メンバーになってね
下のアドレスをクリック
メンバー特典は動画の最後に君の名前が出ます
For member benefits, your name appears at the end of the video
https://www.youtube.com/channel/UCVcBzbRDZe2_Cv3HDbee5yA/join
Support me
Patreon
https://www.patreon.com/Lipstickchanel
サブチャンネルはこちら
Click here for sub-channel
https://www.youtube.com/channel/UCU3jM-RTfwUahA7Z5j052sw
使ってるカメラはCanon EOSR
マイク
Blue Microphones Yeti USB コンデンサー マイク Silver
アマゾンはこちら
https://amzn.to/2SouKwt
バイノーラルイヤフォンマイク
Roland ローランド バイノーラル マイクロホン イヤホン CS-10EM
https://amzn.to/2GnqOsM
SR3D
https://www.sr3d.co.uk/
アイフォンでのバイノーラルマイク
SCENES Lifelike
いまアマゾンで売ってま線がもうすぐ新しいのが出ます
わたしのメルカリ
なるべく安く オレジナルグッズ作ります
https://www.mercari.com/jp/u/592245242/
わたしのティックトック
Tik tok
https://vt.tiktok.com/6M8qBs/
※バイノーラルマイクでのASMR動画ですのでイヤホンかヘッドホンでお楽しみください♪
【まさフェチ】のまさよファミリーの君にに送ります
おせっかEのまさよCが【まさフェチ】に挑戦状(なんのこっちゃ)
まさにフェチ(なんのこっちゃ)
もっと【まさフェチ】なちみに
サブチャンネル作りました 完全に【まさフェチ】に送る まさよCの【生活音】 モッパン 咀嚼音 マウスサウンド リップ音 Vログ 踊ってみた その他の動画はサブチャンネルで見られます こちら
https://www.youtube.com/channel/UCU3jM-RTfwUahA7Z5j052sw
I made a sub-channel MUKBANG Eating Sounds mouse sound lip sound V log and other videos can be seen on the sub-channel
https://www.youtube.com/channel/UCU3jM-RTfwUahA7Z5j052sw
#睡眠 #不眠
私の美容室 全国からシャンプー・カットしに来てね
会えるのは すごく嬉しい 耳かきとか囁きとかもやろうかな?
ファンレターはこちらのお店に送ってもらうと
届きます 熱烈歓迎
リップスティックビューティーサロン
https://lipstick-beautysalon.jimdo.com/
公式ライン@は
お店のLINEです 友だちになってね
ID検索
@lipstickbs
ラインアカウント
http:// nav.cx/6N2LrQT
PATREON (後援)
https://www.patreon.com/Lipstickchanel
風水グッズ作りました 本気で邪気除けできます 買ってね
https://suzuri.jp/Lipstick-CHANNEL
チャンネル登録はこちら↓
https://www.youtube.com/channel/UCVcBzbRDZe2_Cv3HDbee5yA?sub_confirmation=1
気に入ったら 高評価 チャンネル登録してクレヨン
チャンネル登録はこちら
http://qq2q.biz/Cao7
字幕作れる人は協力お願いします
I look forward to your cooperation in making the subtitles!
https://bit.ly/2P6gecC
バイノーラル(立体音響)で撮ってるので
イヤフォンまたはヘッドフォンでお聞きください
妹のチャンネル
まりこちゃんねる
https://goo.gl/eNZGxC
twitter
https://twitter.com/arisugawanike
facebook
https://www.facebook.com/masayoshi.kobayashi
instagram
https://www.instagram.com/masayoc_asmr/
ブログ
http://mindpower.cocolog-nifty.com/blog/
メール
nike2036@gmail.com
私がビリー・アイリッシュとASMR の関係をインタビューされてます
GIZMODO
https://www.gizmodo.jp/2019/10/billie-eilish-asmr.html
※私のアマゾンへのリンクURLはAmazonアソシエイトのリンクを使用しています。
#音フェチ #ASMR #まさよC #Japanese ASMR
log除法公式 在 log公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 萌寵公園 的推薦與評價
提供log公式相關PTT/Dcard文章,想要了解更多指數生活應用、自然 ... 對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。 ... <看更多>
log除法公式 在 log數學公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 媽媽最愛你 的推薦與評價
提供log數學公式相關PTT/Dcard文章,想要了解更多對數公式、常用對數值、ln log轉換有關親子文章或書籍, ... 對數律是有關乘法, 除法與次方後取對數的等式,. ... <看更多>
log除法公式 在 log公式在PTT/Dcard完整相關資訊 - 萌寵公園 的推薦與評價
提供log公式相關PTT/Dcard文章,想要了解更多指數生活應用、自然 ... 對數可以簡化乘法運算為加法,除法為減法,冪運算為乘法,根運算為除法。 ... <看更多>