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L04~L05: 定義中音Do, Re, Mi, So, La, Si 及高音Do 等8 個音階的頻率，各個音階的頻率已經定義在pitches.h 檔裏，所以只要找出這八個音階的常數並儲存在melody 陣列即 ... ... <看更多>
音符. 对应频率(Hz). 半周期(us). 1. 261.6255653. 1911.128216. 1.5. 277.182631. 1803.864832. 2. 293.6647679. 1702.621678. 2.5. 311.1269837. 1607.060866. ... <看更多>
音階頻率 在 Re: [中學] 音階與數學的指數關係- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
其實，音階跟指數本來是毫無關係的...
事實一：音波的頻率越大，人耳所聽到的的聲調感覺也越高。
事實二：給定兩個不同來源的音波，兩者頻率越接近簡單的整數比，人類聽
眾就越覺得兩個聲音很和諧。反之，人類會覺得聲音聽起來在打架。
以上兩點跟聲波的物理性質無關，跟我們的大腦怎麼運作有關。知道這兩點
以後，我們就可以問：把哪些不同的頻率放在一起會讓我們覺得悅耳？
注意到上面講的第二點，聲調調和與否只跟頻率比例有關，所以在「低得聽
不見」和「高得受不了」這兩個極端之間，我們可以自由選擇基礎頻率。這裡為
了數字簡單漂亮起見，我們把主音(tonic，Do)的頻率訂為400 Hz。
最簡單的整數比是 1:2，所以800 Hz的聲音跟400 Hz會處得非常好。
仔細看看這兩個數字。400 Hz的意思是，這個音波的波形每 1/400 秒會重
複。800 Hz 的週期固然是 1/800 秒，但是它當然每 1/400 秒也會重複。所以這
兩個音調聽起來在某種意義上應該十分相似。
事實上，800 Hz 比 400 Hz 高了八度，也就是中央 Do 和 高八度的 Do 的
差別。就說它們聽起來「一樣」吧。
下一個比例是 2:3:4，所以在中間可以塞一個 600 Hz 進去。這是 Sol。
把八度音階唱一遍，在兩個 Do 之間的聲調，Sol 是不是感覺最穩重最和諧
呢？這就是原因啦，因為它和主音的頻率比是最單純的。
接下來我們有 3:4:5 和 4:5:6，不過這兩個比例給出的是同一個音。把
500 Hz 和高上八度（兩倍）的 1000 Hz 放進音階裡面，這是 Mi。
Do-Mi-Sol 這個和弦是 4:5:6，Sol-Do-Mi 則是 3:4:5。所以我們會覺
得和弦好聽。
重複以上步驟，我們可以得到一系列聽起來互相調和的聲調。西洋音樂
找到七個音調以後就沒有繼續下去，這就是我們熟悉的大調音階：
Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do
其旋律比是：
8:9:10:11:12:13.5:15:16
這一類的古典調律法因為和弦特別好聽，所以到現代還是常用在acapella
之屬，仰賴大量合聲的音樂裡面，但是一般的音樂早八百年都已經改用十二
平均律了。
（好吧，八百年是誇飾，中國和歐洲大概都是在四百年前改變的。）
要是你對十二平均律有一點點認識，也就知道除了八度以外，現代的音
階裡面根本沒有整數比。這又是什麼黑魔法？
首先我們來看看「簡單整數比」的壞處在哪裡。
假設你是某大牌歌手的專屬伴奏。在公演之前，該大牌在後台突然跑去
找你，說她今天喉嚨狀況不好，希望等下第一、三、十二、十四這幾首比較
高的曲子降個音，其他則維持原狀就好。
「反正就是Mi變成Re，Re變成Do嘛，難不倒你這個職業的吧？」
假設你是很有風骨的那種人，這一聽當場翻桌了，阿淦哪有你說得那麼
簡單的啦。Re和Mi是9:10，Do和Re是8:9，根本不能互換啊！要轉調每根琴弦
都要重新調音過！你叫我在舞台上調過去又調回來嗎？
是的，問題就出在這裡了。假設我們把上面例子的400 Hz叫做X，X大
調各音調的頻率是
400-450-500-550-600-675-750-800
比X大調高一個音的Y大調卻是
450-506.25-562.5-618.75-675-759.375-843.75-900
當然這樣拉高音調有些地方會差半音，但是其他根據現代樂理（以及十
二平均律）不會有差的地方，也出現了微妙的不同。例如450 Hz上面的音
調不是500 Hz而是506.25Hz。這就是 8:9 和 9:10 的差別。
音樂史上還有很多不同的調律法，目的大都是讓（部分）轉調變得可能。
例如畢哥達拉斯發明的這個比例：
8 : 9 : (10 + 1/8) : (11 - 1/3) : 12 : 13.5 : (15 + 3/16) : 16
好處是 Do-Re，Re-Mi，Fa-Sol，Sol-La，La-Si 都是 8:9，所以可以
做出有限制的轉調，但是碰到 Mi-Fa 和 Si-Do還是會破功。
只要我們還堅持整數比，完全自由的轉調就不可能。
上面畢老的這個音階，相鄰的兩個音比值不是 8:9（大步）就是 243:256
（小步）。然後我們發現一件有趣的事：
(256/243)^2 ~ 9/8
(9/8)^6 ~ 2
一個八度大約等於六大步，一大步大約等於兩小步。
於是終於有人想到了：去他的整數比，直接切成十二等分吧，反正都嘛
差不多。
令 a = 2^(1/12)，以 f 為基礎頻率的七聲大調音階就變成：
f - f * a^2 - f * a^4 - f * a^5 - f * a^7 - f * a^9
- f * a^11 - f * 2 - ...
要高一個音？簡單，基礎頻率換成 (f * a^2) 就好：
(f * a^2) - (f * a^2) * a^2 - (f * a^2) * a^4 - (f * a^2) * a^5 - ...
每一個調性的每一個音都是 (f * a^n) 這樣的型式，所以轉調不再需
要重新調音了！
我們得到任意轉調的自由，但是原來漂亮的整數比已經不見了。如果有
哪個十五世紀或更早的音樂家穿越過來聽到現代音樂，一定會覺得我們的樂
器全部都微妙的走調。但是對於現代音樂家，尤其是那些一首歌不轉調七次
不過癮的J-Pop作曲家來說，這大概只是小小的犧牲吧。
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你喜歡下列哪一個學妹？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.246.232
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420565528.A.D71.html
的位置就完全看演奏者高興了。
如果不是從小到大科班訓練出身，譜上同一個D#，多少人會去刻意區分提琴跟鋼
琴的音高？
所以一開始在推導音階的時候根本沒有 log_2 出現的餘地，硬丟值進去也只是
拿到各種麻煩骯髒的無理數。我想說的只是這個而已。
現代就算是什麼歐美菁英科班音樂學院的樂理，第一課一定會教circle of fifth對吧？
就算第一課不教，第二課也該教到了。而且都講得理所當然，好像這就是上帝的真理。
然後任何純律的circle of fifth都關不起來。
現代的樂理已經根本上把平均律當成是一切的起點，不僅僅只是用在「離散樂器」上面
的方便近似而已。
※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 15:03:54
然後另外補充一下，古人對純律（整數比）不滿意的地方不只轉調，
還有五度音程關不起來的問題。
複習一下，八度音的頻率比是 1:2 = 2:4。
然後我們在正中間插一個音進去，得到 2:3:4，這裡的 2:3 就是完全五度音程。
(perfect fifth)
因為 2:3 是 1:2 之後，下一個最簡單的整數比，所以五度音聽起來特別和諧，
對音樂也特別重要。
所以，我們希望對音階裡面每個音，高出其五度的音都存在於同一個音階裡。
然後回頭看看我在上面推導出來的
8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13.5 : 15 : 16 : 18 : 20 : 22 ...
Do Re Mi Fa Sol La Si Do Re Mi Fa ...
Do (8) 高出五度是 Sol (12)，Sol 再高出五度是 Re (18 --> 9)，看起來一
切都很好...
哎，可是這裡是數學板，我幹嘛把說明限制在小學程度？
總之我們這裡做的是：
1. 給定基礎頻率 f_0
2. 遞迴定義 f_n = (3/2) f_(n-1) if (3/2) f_(n-1) < 2 f_0
(3/2) f_(n-1) * (1/2) otherwise
如果乘上 1.5 倍會跑出原來的
八度以外，就除以二拉回來
請讀者自己證明數列 f_n 不會循環。
也就是說，就連「每個音都有五度音程」這麼卑微的希望，也不是任何頻率的
有限集合可以滿足的。
十二平均律解決這個問題的方法就是：去他的 2:3。
新的「完全五度」的比例是 1 : 2^(7/12) = 1 : 1.498...
放棄乾淨的整數比，接受一點小小的不協調，換取一個關得起來的有限集合音階。
※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 17:24:26
想要直接測量波長，你必須在同一個瞬間同時測量空間裡很多個點上面的振幅。
人的耳朵小小一個，只能做到在同一個地點持續測量不同時間的振幅，所以只能
直接感知頻率。
但是話說回來，1/4 : 1/5 : 1/6 = 15 : 12 : 10，也是很好的整數比啊。
※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/09/2015 00:15:33
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