【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
1⃣
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
2⃣
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
3⃣
高中教過許多關於基本函數的公式
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
4⃣
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
5⃣
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
6⃣
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
這邊列一下定義內容：
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
噁心吧？
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
嗯... 我又離題了
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
///
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
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極限定義 在 [閒聊] 淺談極限（一休法師的數學對話錄） - 看板tutor 的推薦與評價
今天下午閒閒沒事，寫了篇微積分中，關於『嚴謹極限定義』的短文
初等微積分在這部分，常常是初學者甚感頭痛的章節
在這裡斗膽提供另一種教學方式給各位參考....
有些家教老師或許正在修習微積分，又或者，有人正家教微積分
但願這篇文章能對大家有所幫助，並請方家不吝批評指教
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淺談極限（一休法師的數學對話錄）
小妍：一休，你怎麼一整個早上都不在安國寺，我找了你好久。
快救救我吧！現在一整個亂呀～～～
一休：怎麼啦？我不過幫將軍大人到何老闆家辦點事，
哪知道麗心小姐出了一堆難題考我，
回來的路上又遇到總兵大人，聊個沒完沒了就拖到現在了……
小妍？妳還好吧？我看妳臉色發青耶！
小妍：吼～～～別提了，事情是這樣子的啦！
妳還記得我去東森幼幼班學微積分嗎？之前
我還自認為掌握的蠻不錯的，哪知道昨天老師教到極限的嚴格定義與證明，
我只能看黑板乾瞪眼，完全陷入五里霧中。
今天一早急著找你也是為了這檔事，聰明的一休，這種事也只有你能幫我了～～
一休：哦～～原來是這件事呀！我還以為又是誰惹麻煩了。
OK～小妍，那裡有棵蔭涼的大樹，旁邊有一塊沙地，
不如我們就坐在那兒邊乘涼邊討論吧！走！我順便折個樹枝當筆用！
小妍：好呀！你學歐陽修老媽『畫荻教子』咧～～
一休：呵呵～～我想到的人可是阿基米德呀（Archimedes）
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一休：學校老師是怎麼講函數於一點的極限嚴格定義的，小妍，你幫幫忙寫一下囉！
小妍：OK！沒問題，我背的滾瓜爛熟，唉～～只是完全搞不懂他的意思（皺眉）
老師是這樣寫的：
『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』
看在老天的份上，快救救我吧！這之於我簡直是火星文的水準。
一休：先別急，慢慢來囉！對了，我沒想到妳英文還講的真不錯耶！
好吧，咱們來想想：奇怪了？之前老師教直觀的極限，大家都懂呀！
為什麼要把事情弄這麼複雜深奧？妳能說說看自己的想法嗎？
小妍：數學家總喜歡講『黑話』讓自己看起來更有學問吧！
好讓外行人聽不懂而覺得他們很厲害。不然幹嘛這麼折磨人……
一休：小姑娘，我不完全否認妳的說法！
但今天在『極限』這個概念的解釋上，完全不是如此。
數學家把極限寫成這般『稀奇古怪』又『面目猙獰』的鬼模樣，
可不是因為任何自命清高的理由。
為的是把概念『說清楚，講明白，不失一般性的放諸四海皆準』……
呵呵～～我看得出妳聽的有點茫然了，
只是待會妳很可能不得不認同這般論調（除非妳今天一無所獲）
小妍：一休！你別鬧我了，現在我滿腦子混亂你還火上添油。
一休：回頭看看沙地上寫的，我儘可能把這段話翻譯成白話文，妳可要仔細思量呀！
『對於所有ε>0，必定可以找到一δ>0，使得當0<|x-a|<δ時，|f(x)-L|<ε。
這個陳述成立的話，我們便說：
lim f(x)= L
x->a
做個註解好了，妳仔細看看喔！
1. ε>0代表所有正數。
2. 0<|x-a|<δ就是說：當x介於某一個區間。
也就是 a-δ < x < a+δ 且 x≠a，咦？x≠a又是從哪來的！
其實仔細看看原來那個絕對值不等式，
為什麼要寫成的0＜|x-a|而不是0≦|x-a|呢？
其實正說明了數學家不要讓x=a，這也正是極限被發明的精義所在，不是嗎？
3. |f(x)-L|<ε依樣畫葫蘆啦，L-ε < f(x) < L+ε。
總歸一句，這裡要談的觀念是：
『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L。
小妍：大哥呀！你最後講的那一句我懂，
因為那簡直又回到一開始幼幼班裡教的直觀極限。
可是前面又為什麼要講一大堆拉哩拉匝的話來混淆視聽呢？
一休：小妍，妳以為妳聽懂了最後一句，其實並沒有。
『當 x 逼近 a 時，f(x) 有極限 L』，
什麼叫做f(x) 有極限 L？！我相信妳並沒有真的懂，
我幾乎可以預料到妳接下來要講甚麼話。
小妍：哼！別小看人呀！所謂f(x)有極限L，不就是f(x)很接近L，要多近就可以多近。
一休：哈！我就知道妳要這樣講。姑娘，妳已經長大了耶！
再沒幾年就要嫁人了，要成熟點，不可以像小孩子一樣講這種不成熟的話來，
所謂『要多近就可以多近』，是一句含混不清、不明確又不負責任的話。
當妳說：x 逼近 a ，要多近有多近時，那究竟有多近呢？可不可以是0呢？
當然不可以，是0的話， x不就等於 a 了（那又何必發明個什麼狗屁極限），
於是妳又辯解：好吧！要多近就可以多近，只要不碰到 a ！
唉～～小妍，我們是在研究數學，可不是搞政治，
似是而非或曖昧不明的話，數學家可是很討厭的。
他希望妳把『要多近就可以多近』這句話『定量』的表達出來。
小妍：你饒了我吧！我想我不是真的懂，不然今天我就不會來找你了。
一休：小姐，極限的存在其實這是一場激烈的『攻防戰』，
大部分學微積分的學生並沒有看到這一場戰爭，
『一場ε與δ的戰爭，ε負責攻打，而δ負責防守』，
如果說：無論ε怎麼出招攻打，δ都能應付要求而防守的住，
我們就說f(x) 有極限 L。』
小妍：怎麼扯到打仗去了，講的比學校老師還要玄。
一休：假設我們今天生活在數學國，敵軍進犯咱們家園，
總兵大人就會在城牆上駐軍防守。
小妍，一起來瞧瞧戰況吧！
敵人希望能破門而入，在部隊裡架設砲台
（砲台就是函數f(x)，因為經費有限，敵軍只有一座砲台），
裝填砲彈向咱們轟打（ε就是砲彈）。
可想而知，當敵軍攻不進去的時候，
就會想辦法加強砲彈火力（ε越小，代表砲彈越尖銳，火力越大）
小妍：總兵大人要怎麼防守？不會是用δ吧！只剩這玩意沒出場了。
一休：這回你講對了！就是要用δ防守敵人丟過來的ε。
並且當砲彈越先進越猛烈，也就是ε越小，
那麼咱們總兵大人抵擋的防禦性武器δ通常也就要越堅固，
這便是防禦的δ要越小……
小妍：但是ε不能取0，因為這樣子f(x)就會等於L了，
這樣會逼的總兵大人可能要以δ＝0來防禦，
而δ＝0正是 x＝a ，這恰好違反極限之所以被發明的精神。
一休：我幾乎沒辦法回答的比妳更好了。
但是我再補充一點：並不是 f(x) 不會等於 L ，只是敵人不能要求ε＝0，
也就是敵人不能要求f(x)=L，即使f(x)真的等於L也不能使用。
這如同今天國際情勢一般，大家講好無論哪種戰爭都不可以使用核子武器。
小妍：可是這個敵人很強悍，也很狡詐，除了核子武器之外的東西他都可以盡情使用，
也就是講的出來的正數ε，他都敢用也都允許使用而不違反國際公約。
一休：很高興妳又答對了一次。我相信經由這般的引導，
如今妳已經茁壯到可以回答我的提問了。
來～～考考妳！
小妍：儘管考！
一休：所謂 "f(x) 有極限 L" 是在講甚麼？
小妍：基本上我們的意思是: f(x) 很靠近 L。
一休：那有多靠近？
小妍：你說要多靠近都做得到，因為現在極限已經存在，
但你這個敵軍不能要求 f(x)=L。
一休：我希望 |f(x)-L|<0.01，妳防的住嗎？
小妍：只要我把 x 夠接近 a, 但 x≠a，就一定防得住！
一休：那麼，要求 |f(x)-L|<0.000000000000001 呢？
小妍：沒問題！只要我讓 x 夠接近 a，而且 x≠a。
一休：那麼...是不是我隨便說一個數 ε＞0，只要 x 夠接近 a，而且 x≠a，
就能保証|f(x)-L|<ε！
小妍：沒錯! 『f(x) 有極限 L』就是這個意思！
可是...甚麼叫 "x 夠接近 a" (而且還要 x≠a)？
我不敢說要考一休大師，只能請教了，因為接下來我是真的不懂了！
一休：OK！ "f(x) 靠近 L" 不稀奇；但它是有條件的，
那就是 "x 夠接近 a而且 x≠a"。
重點要來了！
我們必須有個標準來評估是否 " x 夠接近 a"？
我們可能取一個標準ε>0，凡是 0<|x-a|<δ，也就是x 和 a 的距離小於 δ，
就說 x 夠靠近 a。
小妍：那... δ 要取多少？ 0.1？ 0.01？
一休：注意，δ 是不能任意取的，打個比方好了，今天防守敵軍來襲，
所需要使用的防禦武器選擇，
並不是由總兵大人，或是何老闆，或是小妍你和一休我所能決定的，
『是由打過來砲彈ε來決定我們要用什麼δ去防守。』
如果δ取得太大，就不能保証 |f(x)-L|<ε了！
所以，一般δ的選取是要看ε來決定的；
當然，除了 ε的大小會影響到δ以外，函數 f 的形式也會有影響。
於是數學家會這麼講:『δ是ε的函數，δ的值被ε所統御，δ可以寫成δ(ε)。』
小妍：好像有點難，可不可以舉個例子。
一休：在我舉例之前，我再次強調ε這個大於零的實數必須先被選擇出來，
然後正數δ才『被』產生出來。
如果對於所有提出的ε，都可以找到δ予以應付的住，
我們便說：函數在該點處之極限值存在。
容我立刻寫下嚴格的極限定義，
我但願妳看著這個剛剛還不知所云的定義，已能有不同的觀點與感受。
Definition （precise meaning of limit）
『for allε>0，exist δ>0，such that whenever 0<|x-a|<δ ＝＞ |f(x)-L|<ε』
EX： Prove lim（2x+1）＝7
x->3
戰況分析：
攻方魯班（楚國），守方墨翟（宋國）
戰國初年楚國攻宋，大戰即將展開，
魯班將會以任何ε＞0為武器對墨翟發出挑戰，
現在魯班選擇ε＝0.01，墨翟看了一下lim（2x+1） x->3，
他猜測這個極限應該會是7。
現在墨翟是否能找出一個δ使得當 0<| x-3 |<δ 時，
會讓 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01？
墨翟運用一點小小代數技巧寫下
|（2x+1)－7）| ＜ 0.01 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.01 ＜＝＞
0.01
｜x－3｜＜ -----
2
墨翟胸有成竹的說：只要我δ取 0.01/2（或者是更小）
也就是讓0＜｜x-3｜＜0.01/2 ，便可抵擋你的砲火，
使 |（2x+1)－7）| ＜ 0.01
這巴掌惱火了魯班，他決計使出更為猛烈的攻勢，再次挑戰，
這次他毫不手軟的提出ε＝0.000001，
墨翟這下要怎麼防守呢？他笑了:魯老弟，你還真『盧』咧！硬是想再被羞辱一次。
|（2x+1)－7| ＜ 0.000001 ＜＝＞ 2｜x-3｜＜0.000001 ＜＝＞
0.000001
｜x－3｜＜ -----------
2
我取δ＝（0.000001）/2 ，使得當 0＜｜x－3｜＜（0.000001）/2 ，
便保證|（2x+1)－7| ＜ 0.000001
我看你也別氣的這樣敲桌子踢板凳囉～～早點帶著你的砲彈回家養老吧！
魯班趕緊回部隊和幕僚商討研發更小的ε，墨翟搖搖頭，心想，
這樣戰事下去也是沒完沒了
（永遠無法『證明完』這個極限，因為魯班可以一而再再而三不斷提出更小的ε），
有沒有一勞永逸的方法？他坐下來喝了口茶，決定寫一封信親自交給敵營的魯班…
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
魯老弟親親如晤：
多年不見，別來無恙，在這裡我也不說客套話了，您仔細瞧瞧吧：
ε
|（2x+1)－7）| ＜ε ＜＝＞ 2｜x-3｜＜ε ＜＝＞ ｜x－3｜＜ -----
2
只要我取δ＝ε/2 ，也就是每當｜x－3｜＜ε/2 ，就確保 |（2x+1)－7）| ＜ε，
到這個時候你也該知道，無論是現在還是將來，你的一切努力都將徒勞無功。
宋國只是個瘠弱的小國，楚王有容乃大，
至於魯兄，不如早點打道回府才無損您閣下的智慧。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
魯班當場展信看完『我還是知道怎麼打贏宋國，我有辦法！』停了一會，
魯般訕訕的說：『真的！我有辦法，但是我不說……』
『我也知道你怎麼贏我的』墨翟卻鎮定的說：『但是我也不說。』
『你們說的是些什麼呀？！』楚王驚訝的問道。
『魯老弟的意思』墨翟旋轉身去，回答道：
『不過是想殺掉我，以為殺掉我，宋就沒有人守，就可以攻了。
然而我的好朋友一休已經把這個守城（極限）的秘密告知給小妍、李武靖、
將軍大人，甚至連麗心小姐都知道了，那娘子的大嘴巴是出了名的，
想必現在全宋國都知道了，並且熱烈歡迎楚國的挑戰。
魯老弟就是殺掉我，也還是攻不下的！』
『先生是主張非攻的。墨老師，我沒有見你的時候，想取宋；
一見你，即使白送我宋國，也沒有讓我得以窺見極限的奧義還來的快樂。』
面向楚王：『大王！我們還是回去吧！』
__________________________________________________________________
一休：借用這個歷史故事，我相信聰明如妳已經能把握嚴謹極限的精神，
接下來就是多做些題目，好讓這個初釀的思想更為通透清澈。
小妍：呵呵～～聰明的一休，你舉的例子不只淺顯易懂，也太貼切了，
春秋戰國百家爭鳴，燭之武、蘇秦、張儀、范雎、孟軻……
以能言善道，三寸不爛之舌縱橫捭闔諸國，得君行道以為志者，多到簡直氾濫。
或許當年若多個數學家而少個兵家、法家之流，天下會多一點太平也說不定。
一休：呵呵！就妳剛剛那句話，我本想繼續同妳長篇大論一番。
不過現在時候不早了，趕緊把今天的討論做個總結吧：
妳現在已經知道……
數學家並不是無端的要把極限的定義寫的這樣猙獰醜陋又咬文嚼字，
相反的，只有這樣子的定義，才能把宋國解脫，才能讓魯班低頭，
才能把極限存在的證明劃下句點，否則將永無止盡。
也只有這樣看似玄之又玄，實則清澈乾淨的定義，才能放諸四海皆準，
否則甲的說詞是一套，乙的說詞又是一套，
『要多接近有多接近，且不碰到』這是一番含混曖昧的話語，不是嗎？
妳再看看同樣打混的話，
總兵大人前幾天跟我這樣說：『很接近，但不是0啦！
所以可以放在分母求切線斜率……啊！就說不是0啦！
我問：『那到底是什麼？是數字嗎？是幽魂嗎？』
他說這有什麼好問的，因為……他……也回答不出來，
反正他氣急敗壞的不斷辯解：要多接近0就有多接近0啦……』
小妍：呵呵～～如今我聽了這番話也覺得有點離譜，
剛剛我還沈淪在這種『說詞』當中咧！
想不到現在我已脫胎換骨，當然，這都要感謝一休您的調教。
我在想：這麼快就能理解並贊同極限的奧義，
或許我真具有數學家的天分與素質喔？你說呢！一休……？
一休：別傻了，這一切都是幻覺。數學家真能這麼容易當的話，我也不作和尚了！
下次換妳教總兵大人喔！
呼～～妳瞧，說著說著天都快黑了，
修念、珍念想必等到都餓壞了，咱們快回去吧！
小妍：嗯，OK！～～～…………ㄚ你怎麼用跑的呀，等等我呀一休～～～
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