【2020 機率期末考題 — 生死鬥之三強爭霸】
每個老師對於課程都有自己的理念。我對於機率這類的工程數學課程，從十幾年前開始教書時，我的理念就一直是：教學生理論，最重要的是要讓學生學會怎麼把它用在真實情境，解決問題。
我自己學生時代修的很多課，都是考證明。對我這種後來做理論研究的學生來說，背這些證明、學一些理論推導手法，對我後來或有一些幫助。但大部分工程領域的學生，真正後來會像我一樣最後走向理論研究的人真的不多。
所以當我開始當老師時，我的重點一直都比較不是要考學生理論、證明。我希望的是我們能讓更多學生理解到，他學到的工程數學，是可以用在真實情境裡的。這也是為什麼從十幾年前開始，我就在教學生怎麼出生活情境下的機率題目，我自己的考題也是從這方向去設計。
近年國教端大家在談的素養題，其實跟十幾年前我的理念是一致的。而且我們還更進一步訓練我們的學生自己出這樣的機率素養題。當年我們師生出的科普暢銷書「機率驚艷」就是把我們的作品集結出版，在博客來科普類榜首好幾週。
這也是為什麼每年我只要想到要出機率期中考或期末考題，都會很焦慮、很花時間的原因。要找真實的情境，要能與理論結合，要能讓學生感受到學這些數學是有用的，而不是只是考試寫證明用的；這真的很難，超花時間。
題目很難出，但一直都希望讓學生修完課後能記得機率是跟真實世界能結合有用的東西。也希望他們考完能對機率不會太排斥日後再去接觸。
今年畢業典禮，花了好多時間在想這個題目。真是搞死我了 X{DDD
感謝 吳陽禾、柯建廷 借名相助～
感謝 洪國喨助教 昨天半夜兩點半還在跟我一起驗算答案的數字～
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2020 機率期末考題
by Benson
2020 年，由於疫情，各種突破人類理性極限的事情不斷發生。當中最讓人注目的，在太平洋某個島，出現了跨越二千年時空而重現的歐洲極致格鬥文化：「羅馬競技生死鬥」。競技規則很簡單，如媒體新聞圖所示：
「羅馬競技生死鬥」的規則：當手中的武器也就是寶特瓶，擊中對方持武器的手可得1分；擊中正面可得2分；擊中背面則可得3分，先拿到10分者獲勝；若是直接將對方手中的寶特瓶擊落，也判直接獲得勝利。
在江湖上，有三個知名的羅馬競技生死鬥戰隊，讓人聞風喪膽。分別是來自天龍國的 UTN 戰隊、來自風城國的 UTCN 戰隊，跟來自糖糖國的 UKCN 戰隊。
a. (5%) 當 UTN 隊對上 UTCN 隊，兩者在伯仲之前，一群眼鏡仔拿寶特瓶互Ｋ對戰，非常之精彩。已知每場比賽的時間都獨立，而且每場比賽不管開戰多久，剩餘的時間總是讓人像如同從頭開始看一樣，平均每場比賽所花的時間是 10 分鐘。請問每場比賽所花時間的分鐘數之 MGF 是？
b. (10%) 當 UTCN 隊與 UTN 隊對戰，UTN 隊的主要戰將小禾因自小就在風城長大，對於風城人的特性了解甚深，因此跟對手對戰勝率很高，每場得勝機率是 0.8，每場所花時間的機率分佈如同前小題所述。比賽一開始，他便自動請纓，連勝連戰，直到第一場敗戰才退下陣來。請問連勝連戰到第一次落敗，所花的總戰鬥時間分鐘數的 MGF、Mean、Variance 各是什麽？請分別詳細推導。（Hint：注意有可能在第一場就輸了，但還是有比賽時間。這部分的時間也是要考慮喔）
c. (10%) 經過浴血奮戰，UTN 隊終於力克 UTCN 隊。下一戰對上了 UKCN 隊。BTW 這三隊之所以在江湖上能有一席之地，其實靠的不是戰技而已，而是比賽同時所發的垃圾話攻勢。其中，UKCN 隊的垃圾話對於從小在糖糖國長大北漂唸書的選手，尤其有殺傷力（只要對他們講一句「好可憐喔，你這四年都在吃ㄆ」，他們就會大崩潰，變得毫無戰力）。
當 UKCN 隊要對上 UTN 隊 K 選手之前，他們得到情報，知道 K 選手有 70% 的可能來自糖糖國。為了確保垃圾話戰術的成功，UKCN 隊想出了一個方式來測試 K 到底是不是真的來自糖糖國，他們的美麗隊經，在比賽前親自送了一整箱全糖綠茶給 K。然後他們偷偷觀察 K 連續喝了多少杯才停止不再喝全糖綠茶。令 X 為觀察到的杯數（亦即 K 連續喝了 X 杯全糖飲料才停止而不再喝，注意 X 也有可能為 0）。
若已知一個來自糖糖國的人，給他無限制的全糖飲料，不管他之前已經喝了多少杯，下一杯會繼續喝的機率是 0.9（Hint: 所以 X 在這假設下是什麼分佈呢？）。對於一個不是來自糖糖國的人，給他無限制的全糖飲料，不管他之前已經喝了多少杯，下一杯會繼續喝的機率是 0.1（Hint: 所以 X 在這假設下是什麼分佈呢？）。請你幫 UKCN 隊設計出由 X 判定 K 選手是否來自糖糖國的準則 (Decision Rule)，讓他們判定錯誤的機率為最小。
d. (10%) 根據賽場紀錄顯示，每次 UTN 選手出手，被 UKCN 選手防禦擋住的機率是 0.7，打中正面得兩分的機率是 0.2，打中背面得三分的機率是 0.1，武器掉落機率為 0。每次出手的結果都是獨立事件。根據賽場紀錄，在這場驚天地、泣鬼神的南北對戰中，UTN 選手共出手了 2000 次。請用 CLT 求出 UTN 選手得分總和超過 1500 分的機率的精準近似值。
e. (10%) 有個糖糖國學生跟場邊某教授嗆 UTN 小禾上場，整天所有比賽總分必少於 20 分，讓某教授很不爽想跟他嗆賭。若小禾每次出手，被 UKCN 選手防禦擋住的機率是 0.7，打中正面得兩分的機率是 0.3，打中背面得三分的機率是 0.0，武器掉落機率為 0。已知一整天小禾出手 20 次。某教授為人謹慎，每次決定要不要嗆賭人之前，必先計算賭贏的機率多高。請用 Chernoff Bound 幫某教授計算他嗆賭贏糖糖國學生（亦即小禾得分大於等於 20）的最緊的機率上限？
f. (5%) 在場邊，因為機率期末考快到了，有某 UTN 學生問某教授機率問題：「請問，為什麼 Binomail(n, p) 機率分佈，在 n 很大的時候可用 Gaussian 分佈近似它呢？」正在觀看小禾熱戰的某教授，竟然被問了機率題目，只好露出了尷尬又不失禮的微笑。請問，如果你是教授，請盡你所能，詳細回答這個學生的問題。（回答說明的越完整，分數越高）
最後小禾一夫當關，殺遍敵手全隊，UTN 隊榮登武林盟主。現場掌聲不絕於耳，好不熱鬧！
這時某教授突然驚醒，原來一切，只是南柯一夢。夢中那些機率，看來都是白算的了？在昏暗的天色下，只剩拍手小廷嘲諷般的掌聲，在他耳邊揮之不去。
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